基础数学示例

$\frac{y + 7}{y^{2} - y - 12} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - y - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 16}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{y^{2} - 4^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y + 4}{y + 4}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y + 3}{y + 3}$ 。

$\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{y + 7}{(y - 4) (y + 3)}$ 乘以 $\frac{y + 4}{y + 4}$ 。

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{(y + 4) (y - 4)} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{5}{(y + 4) (y - 4)}$ 乘以 $\frac{y + 3}{y + 3}$ 。

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y - 4) (y + 3) (y + 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(y - 4) (y + 3) (y + 4)$ 的因式。

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 4) (y - 4) (y + 3)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(y + 4) (y - 4) (y + 3)$ 的因式。

$\frac{(y + 7) (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)} - \frac{5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(y + 7) (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 7) (y + 4)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{y (y + 4) + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 (y + 4) - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{y \cdot y + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} + y \cdot 4 + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{y^{2} + 4 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 4 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{y^{2} + 4 y + 7 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.2.2

将 $4 y$ 和 $7 y$ 相加。

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 (y + 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 5 \cdot 3}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.4

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{y^{2} + 11 y + 28 - 5 y - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.5

从 $11 y$ 中减去 $5 y$ 。

$\frac{y^{2} + 6 y + 28 - 15}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

解题步骤 6.6

从 $28$ 中减去 $15$ 。

$\frac{y^{2} + 6 y + 13}{(y + 3) (y + 4) (y - 4)}$

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